В этой метрике записывается как

d s 2 = (1 − r s r) c 2 d t 2 − d r 2 (1 − r s r) − r 2 (sin 2 ⁡ θ d φ 2 + d θ 2) , {\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}+d\theta ^{2}\right),}

где r s = 2 G M c 2 {\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}} - так называемый радиус Шварцшильда , или гравитационный радиус , M {\displaystyle M} - масса, создающая гравитационное поле (в частности, масса чёрной дыры), G {\displaystyle G} - гравитационная постоянная , c {\displaystyle c} - скорость света . При этом область изменения координат − ∞ < t < ∞ , r s < r < ∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π {\displaystyle -\infty с отождествлением точек (t , r , θ , φ = 0) {\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi =0)} и (t , r , θ , φ = 2 π) {\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi =2\pi)} , как в обычных сферических координатах .

Координата r {\displaystyle r} не является длиной радиус-вектора, а вводится так, чтобы площадь сферы t = c o n s t , r = r 0 {\displaystyle t=\mathrm {const} ,\;r=r_{0}} в данной метрике была равна 4 π r 0 2 {\displaystyle 4\pi r_{0}^{2}} . При этом «расстояние» между двумя событиями с разными r {\displaystyle r} (но одинаковыми остальными координатами) даётся интегралом

∫ r 1 r 2 d r 1 − r s r > r 2 − r 1 , r 2 , r 1 > r s . {\displaystyle \int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}}}}>r_{2}-r_{1},\qquad r_{2},\;r_{1}>r_{s}.}

При M → 0 {\displaystyle M\to 0} или r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } метрика Шварцшильда стремится (покомпонентно) к метрике Минковского в сферических координатах, так что вдали от массивного тела M {\displaystyle M} пространство-время оказывается приблизительно псевдоевклидовым сигнатуры (1 , 3) {\displaystyle (1,3)} . Так как g 00 = 1 − r s r ⩽ 1 {\displaystyle g_{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}\leqslant 1} при r > r s {\displaystyle r>r_{s}} и g 00 {\displaystyle g_{00}} монотонно возрастает с ростом r {\displaystyle r} , то собственное время в точках вблизи тела «течёт медленнее», чем вдалеке от него, то есть происходит гравитационное замедление времени массивными телами.

Дифференциальные характеристики

Для центрально-симметричного гравитационного поля в пустоте (а это и есть случай метрики Шварцшильда) можно положить:

g 00 = e ν , g 11 = − e λ ; λ + ν = 0 , e − λ = e ν = 1 − r s r . {\displaystyle g_{00}=e^{\nu },\quad g_{11}=-e^{\lambda };\quad \lambda +\nu =0,\quad e^{-\lambda }=e^{\nu }=1-{\frac {r_{s}}{r}}.}

Тогда не равные нулю независимые символы Кристоффеля имеют вид

Γ 11 1 = λ r ′ 2 , Γ 10 0 = ν r ′ 2 , Γ 33 2 = − sin ⁡ θ cos ⁡ θ , {\displaystyle \Gamma _{11}^{1}={\frac {\lambda _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{10}^{0}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta ,} Γ 11 0 = λ t ′ 2 e λ − ν , Γ 22 1 = − r e − λ , Γ 00 1 = ν r ′ 2 e ν − λ , {\displaystyle \Gamma _{11}^{0}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}}e^{\lambda -\nu },\quad \Gamma _{22}^{1}=-re^{-\lambda },\quad \Gamma _{00}^{1}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}}e^{\nu -\lambda },} Γ 12 2 = Γ 13 3 = 1 r , Γ 23 3 = ctg θ , Γ 00 0 = ν t ′ 2 , {\displaystyle \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{r}},\quad \Gamma _{23}^{3}=\operatorname {ctg} \,\theta ,\quad \Gamma _{00}^{0}={\frac {\nu _{t}^{\prime }}{2}},} Γ 10 1 = λ t ′ 2 , Γ 33 1 = − r sin 2 ⁡ θ e − λ . {\displaystyle \Gamma _{10}^{1}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta \,e^{-\lambda }.} I 1 = (r s 2 r 3) 2 , I 2 = (r s 2 r 3) 3 . {\displaystyle I_{1}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{2},\quad I_{2}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{3}.}

Тензор кривизны относится к типу D {\displaystyle \mathbf {D} } по Петрову .

Дефект массы

Если имеется сферически симметричное распределение материи «радиуса» (с точки зрения координат) a {\displaystyle a} , то полная масса тела может быть выражена через его тензор энергии-импульса по формуле

m = 4 π c 2 ∫ 0 a T 0 0 r 2 d r . {\displaystyle m={\frac {4\pi }{c^{2}}}\int \limits _{0}^{a}T_{0}^{0}r^{2}\,dr.}

В частности, для статического распределения вещества T 0 0 = ε {\displaystyle T_{0}^{0}=\varepsilon } , где ε {\displaystyle \varepsilon } - плотность энергии в пространстве. Учитывая, что объём шарового слоя в выбранных нами координатах равен

d V = 4 π r 2 g 11 d r > 4 π r 2 d r , {\displaystyle dV=4\pi r^{2}{\sqrt {g_{11}}}\,dr>4\pi r^{2}\,dr,}

получим, что

m = ∫ 0 a ε c 2 4 π r 2 d r < ∫ V ε c 2 d V . {\displaystyle m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.}

Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела . Можно сказать, что часть полной энергии системы содержится в энергии гравитационного поля, хотя локализовать эту энергию в пространстве невозможно.

Особенность в метрике

На первый взгляд, метрика содержит две особенности: при r = 0 {\displaystyle r=0} и при . Действительно, в Шварцшильдовских координатах частице, падающей на тело, потребуется бесконечно большое время t {\displaystyle t} для достижения поверхности r = r s {\displaystyle r=r_{s}} , однако переход, например, к координатам Леметра в сопутствующей системе отсчёта показывает, что с точки зрения падающего наблюдателя никакой особенности пространства-времени на данной поверхности нет, причём как сама поверхность, так и область r ≈ 0 {\displaystyle r\approx 0} будут достигнуты за конечное собственное время .

Реальная особенность метрики Шварцшильда наблюдается лишь при r → 0 {\displaystyle r\to 0} , где стремятся к бесконечности скалярные инварианты тензора кривизны . Эта особенность (сингулярность) не может быть устранена сменой системы координат.

Горизонт событий

Поверхность r = r s {\displaystyle r=r_{s}} называется горизонтом событий . При более удачном выборе координат, например в координатах Леметра или Крускала, можно показать, что никакие сигналы не могут выйти из чёрной дыры через горизонт событий. В этом смысле не удивительно, что поле вне Шварцшильдовской чёрной дыры зависит лишь от одного параметра - полной массы тела.

Координаты Крускала

Можно попытаться ввести координаты, не дающие сингулярности при r = r s {\displaystyle r=r_{s}} . Таких координатных систем известно множество, и самой часто встречающейся из них является система координат Крускала, которая покрывает одной картой всё максимально продолженное многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна (без космологической постоянной). Это большее пространство-время M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} называется обычно (максимально продолженным) пространством Шварцшильда или (реже) пространством Крускала (Диаграмма Крускала - Секереша). Метрика в координатах Крускала имеет вид

d s 2 = − F (u , v) 2 d u d v + r 2 (u , v) (d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2) , (2) {\displaystyle ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)}

где F = 4 r s 3 r e − r / r s {\displaystyle F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}} , а функция r (u , v) {\displaystyle r(u,v)} определяется (неявно) уравнением (1 − r / r s) e r / r s = u v {\displaystyle (1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv} .

Искусная разработка Шварцшильда имела лишь относительный успех. Ни его метод, ни его интерпретация не были взяты на вооружение. Из его работы не сохранили почти ничего, кроме «голого» результата метрики, с которой связали имя её создателя. Но вопросы интерпретации и прежде всего вопрос «сингулярности Шварцшильда» тем не менее решены не были. Стала выкристаллизовываться точка зрения, что эта сингулярность не имеет значения. К этой точке зрения вели два пути: с одной стороны, теоретический, согласно которому «сингулярность Шварцшильда» непроницаема, и с другой стороны, эмпирический, состоящий в том, что «этого в природе не существует». Эта точка зрения распространилась и стала доминирующей во всей специальной литературе того времени.

Следующий этап связан с интенсивным исследованием вопросов гравитации в начале «золотого века» теории относительности.

· Гравитационная сингулярность · Чёрная дыра

Развитие теории
Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы - Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории

Решения
Точные решения:

Известные учёные
Эйнштейн · Минковский · Шварцшильд · Леметр · Эддингтон · Фридман · Фок · Керр · Чандрасекар · Пенроуз Хокинг и другие…

См. также: Портал:Физика

Ме́трика Шва́рцшильда - это единственное в силу теоремы Биркхофа сферически симметричное точное решение уравнений Эйнштейна без космологической константы в пустом пространстве. В частности, эта метрика достаточно точно описывает гравитационное поле уединённой невращающейся и незаряженной чёрной дыры и гравитационное поле снаружи от уединённого сферически симметричного массивного тела. Названа в честь Карла Шварцшильда , который первым её обнаружил в 1916 году .

Это решение необходимо является статическим, так что сферические гравитационные волны оказываются невозможными.

Вид метрики

Шварцшильдовские координаты

В так называемых Шварцшильдовских координатах $(t,\backslash ;r,\backslash ;\backslash theta,\backslash ;\backslash varphi)$, из которых 3 последних аналогичны сферическим , метрический тензор наиболее физически важной части пространства-времени Шварцшильда с топологией $R^2\backslash times\; S^2$ (произведение области двумерного евклидова пространства и двумерной сферы) имеет вид

Координата $r$ не является длиной радиус-вектора, а вводится так, чтобы площадь сферы $t=\backslash mathrm\{const\},\backslash ;\; r=r\_0$ в данной метрике была равна $4\backslash pi\; r\_0^2$. При этом «расстояние» между двумя событиями с разными $r$ (но одинаковыми остальными координатами) даётся интегралом

$\backslash int\backslash limits\_\{r\_1\}^\{r\_2\}\backslash frac\{dr\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash displaystyle\backslash frac\{r\_s\}\{r\}\}\}>r\_2-r\_1,\backslash qquad\; r\_2,\backslash ;r\_1>r\_s.$

При $M\backslash to\; 0$ или $r\backslash to\backslash infty$ метрика Шварцшильда стремится (покомпонентно) к метрике Минковского в сферических координатах, так что вдали от массивного тела $M$ пространство-время оказывается приблизительно псевдоевклидовым сигнатуры $(1,3)$. Так как $g\_\{0\; 0\}=1-\backslash frac\{r\_s\}\{r\}\backslash leqslant\; 1$ при $r>r\_s$ и $g\_\{0\; 0\}$ монотонно возрастает с ростом $r$, то собственное время в точках вблизи тела «течёт медленнее», чем вдалеке от него, то есть происходит своеобразное гравитационное замедление времени массивными телами.

Дифференциальные характеристики

Обозначим

$g\_\{0\; 0\}=e^\backslash nu,\backslash quad\; g\_\{1\; 1\}=-e^\backslash lambda.$

Тогда не равные нулю независимые символы Кристоффеля имеют вид

$\backslash Gamma^1\_\{1\; 1\}=\backslash frac\{\backslash lambda^\backslash prime\_r\}\{2\},\backslash quad\backslash Gamma^0\_\{1\; 0\}=\backslash frac\{\backslash nu^\backslash prime\_r\}\{2\},\backslash quad\backslash Gamma^2\_\{3\; 3\}\; =\; -\backslash sin\backslash theta\backslash cos\backslash theta,$ $\backslash Gamma^0\_\{1\; 1\}=\backslash frac\{\backslash lambda^\backslash prime\_t\}\{2\}e^\{\backslash lambda-\backslash nu\},\backslash quad\backslash Gamma^1\_\{2\; 2\}=-re^\{-\backslash lambda\},\backslash quad\backslash Gamma^1\_\{0\; 0\}=\backslash frac\{\backslash nu^\backslash prime\_r\}\{2\}e^\{\backslash nu-\backslash lambda\},$ $\backslash Gamma^2\_\{1\; 2\}=\backslash Gamma^3\_\{1\; 3\}=\backslash frac\{1\}\{r\},\backslash quad\backslash Gamma^3\_\{2\; 3\}=\backslash operatorname\{ctg\}\backslash ,\backslash theta,\backslash quad\backslash Gamma^0\_\{0\; 0\}=\backslash frac\{\backslash nu^\backslash prime\_t\}\{2\},$ $\backslash Gamma^1\_\{1\; 0\}=\backslash frac\{\backslash lambda^\backslash prime\_t\}\{2\},\backslash quad\backslash Gamma^1\_\{3\; 3\}=-r\backslash sin^2\backslash theta\backslash ,e^\{-\backslash lambda\}.$ $I\_1=\backslash left(\backslash frac\{r\_s\}\{2r^3\}\backslash right)^2,\backslash quad\; I\_2=\backslash left(\backslash frac\{r\_s\}\{2r^3\}\backslash right)^3.$

Тензор кривизны относится к типу $\backslash mathbf\{D\}$ по Петрову .

Дефект массы

Если имеется сферически симметричное распределение материи «радиуса» (с точки зрения координат) $a$, то полная масса тела может быть выражена через его тензор энергии-импульса по формуле

$m\; =\backslash frac\{4\backslash pi\}\{c^2\}\backslash int\backslash limits\_0^a\; T\_0^0\; r^2\backslash ,dr.$

В частности, для статического распределения вещества $T\_0^0=\backslash varepsilon$, где $\backslash varepsilon$ - плотность энергии в пространстве. Учитывая, что объём шарового слоя в выбранных нами координатах равен

$dV=4\backslash pi\; r^2\backslash sqrt\{g\_\{1\; 1\}\}\backslash ,dr>4\backslash pi\; r^2\backslash ,dr,$

получим, что

Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела . Можно сказать, что часть полной энергии системы содержится в энергии гравитационного поля, хотя локализовать эту энергию в пространстве невозможно.

Особенность в метрике

На первый взгляд, метрика содержит две особенности: при $r=0$ и при $r=r\_s$. Действительно, в Шварцшильдовских координатах частице, падающей на тело, потребуется бесконечно большое время $t$ для достижения поверхности $r=r\_s$, однако переход, например, к координатам Леметра в сопутствующей системе отсчёта показывает, что с точки зрения падающего наблюдателя никакой особенности пространства-времени на данной поверхности нет, причём как сама поверхность, так и область $r\backslash approx\; 0$ будут достигнуты за конечное собственное время .

Реальная особенность метрики Шварцшильда наблюдается лишь при $r\backslash to\; 0$, где стремятся к бесконечности скалярные инварианты тензора кривизны . Эта особенность (сингулярность) не может быть устранена сменой системы координат.

Горизонт событий

Поверхность $r=r\_s$ называется горизонтом событий . При более удачном выборе координат, например в координатах Леметра или Крускала, можно показать, что никакие сигналы не могут выйти из чёрной дыры через горизонт событий. В этом смысле не удивительно, что поле вне Шварцшильдовской чёрной дыры зависит лишь от одного параметра - полной массы тела.

Координаты Крускала

Можно попытаться ввести координаты, не дающие сингулярности при $r=r\_s$. Таких координатных систем известно множество, и самой часто встречающейся из них является система координат Крускала, которая покрывает одной картой всё максимально продолженное многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна (без космологической постоянной). Это большее пространство-время $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ называется обычно (максимально продолженным) пространством Шварцшильда или (реже) пространством Крускала (Диаграмма Крускала - Секереша). Метрика в координатах Крускала имеет вид

$ds^2\; =-F(u,v)^2\; \backslash ,du\backslash ,dv+$

r^2(u,v)(d \theta^2+\sin^2\theta\, d\varphi^2),\qquad\qquad (2)

где $F=\backslash frac\{4\; r\_s^3\}\{r\}e^\{-r/r\_s\}$, а функция $r(u,v)$ определяется (неявно) уравнением $(1-r/r\_s)e^\{r/r\_s\}=uv$.

Пространство $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ максимально , то есть его уже нельзя изометрически вложить в большее пространство-время, а область $r>r\_s$ в координатах Шварцшильда ($\backslash mathcal\; M$) является всего лишь частью $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ (это область $v>0,\backslash \; r>r\_s$ - область I на рисунке). Тело, движущееся медленнее света - мировая линия такого тела будет кривой с углом наклона к вертикали меньше $45^\backslash circ$, см. кривую $\backslash gamma$ на рисунке - может покинуть $\backslash mathcal\; M$. При этом оно попадает в область II, где

В $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ есть ещё одна асимптотически плоская область III, в которой также можно ввести Шварцшильдовы координаты. Однако эта область причинно не связана с областью I, что не позволяет получить о ней никакой информации, оставаясь снаружи от горизонта событий. В случае реального коллапса астрономического объекта области IV и III просто не возникают, так как левую часть представленной диаграммы необходимо заменить на непустое пространство-время, заполненное коллапсирующей материей.

Отметим несколько замечательных свойств максимально продолженного Шварцшильдовского пространства $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$:

1. Оно сингулярно: координата $r$ наблюдателя, падающего под горизонт, уменьшается и стремится к нулю, когда его собственное время $\backslash tau$ стремится к некоторому конечному значению $\backslash tau\_0$. Однако его мировую линию нельзя продолжить в область $\backslash tau\; \backslash geqslant\backslash tau\_0$, так как точек с $r=0$ в этом пространстве нет. Таким образом, судьба наблюдателя нам известна только до некоторого момента его (собственного) времени.
2. Хотя пространство $\backslash mathcal\; M$ статично (видно, что метрика (1) не зависит от времени), пространство $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ таковым не является. Это формулируется более строго так: вектор Киллинга , являющийся из времениподобным в $\backslash mathcal\; M$, в областях II и IV расширенного пространства $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ становится пространственноподобным.
3. Область III тоже изометрична $\backslash mathcal\; M$. Таким образом, максимально продолженное пространство Шварцшильда содержит две «вселенные» - «нашу» (это $\backslash mathcal\; M$) и ещё одну такую же. Область II внутри чёрной дыры, соединяющая их, называется мостом Эйнштейна - Розена . Попасть во вторую вселенную наблюдатель, стартовавший из I и движущийся медленнее света, не сможет (см. рис. 1), однако в промежуток времени между пересечением горизонта и попаданием на сингулярность он сможет увидеть её. Такая структура пространства-времени, которая сохраняется и даже усложняется при рассмотрении более сложных чёрных дыр, породила многочисленные рассуждения на тему возможных «других» вселенных и путешествий в них через чёрные дыры как в научной литературе, так и в научно-фантастической (см. Кротовые норы).

Орбитальное движение

История получения и интерпретации

Метрика Шварцшильда, выступая как объект значительного теоретического интереса, для специалистов-теоретиков является также неким инструментом, с виду простым, но тем не менее сразу же приводящим к трудным вопросам.

В середине 1915 года Эйнштейн опубликовал предварительные уравнения теории гравитации $R\_\{ij\}=T\_\{ij\}$. Это были ещё не уравнения Эйнштейна, но они уже совпадали с окончательными в вакуумном случае $T\_\{ij\}=0$. Сферически-симметричные уравнения для вакуума Шварцшильд проинтегрировал в период с 18 ноября 1915 г. до конца года. 9 января 1916 г. Эйнштейн, к которому Шварцшильд обратился по поводу публикации своей статьи в «Berliner Berichte», написал ему, что «прочитал его работу с огромной страстью» и «был ошеломлён, что истинное решение этой проблемы можно выразить столь легко» - Эйнштейн исходно сомневался, возможно ли вообще получить решение таких сложных уравнений.

Шварцшильд закончил свою работу в марте, получив также сферически-симметричное статическое внутреннее решение для жидкости с постоянной плотностью. В это время на него навалилась болезнь (пузырчатка), которая в мае свела его в могилу. С мая 1916 г. И. Дросте, ученик Г. А. Лоренца, проводя исследования в рамках окончательных эйнштейновских уравнений поля, получил решение той же задачи более простым методом, чем Шварцшильд. Ему же принадлежит первая попытка анализа расходимости решения при стремлении к сфере Шварцшильда.

Вслед за Дросте большинство исследователей стали удовлетворяться различными соображениями, направленными на доказательство непроницаемости сферы Шварцшильда. При этом соображения теоретического характера подкреплялись физическим аргументом, согласно которому «такое в природе не существует», поскольку отсутствуют тела, атомы, звёзды, радиус которых был бы меньше шварцшильдовского радиуса.

Для К. Ланцоша, а также для Д. Гилберта сфера Шварцшильда стала поводом задуматься над понятием «сингулярность», для П. Пенлеве и французской школы она являлась объектом полемики, в которую включился Эйнштейн.

В ходе парижского коллоквиума 1922 г., организованного в связи с приездом Эйнштейна, речь зашла не только об идее, согласно которой радиус Шварцшильда не будет сингулярным, но также и о гипотезе, предвосхищающей то, что сегодня называют гравитационным коллапсом .

Искусная разработка Шварцшильда имела лишь относительный успех. Ни его метод, ни его интерпретация не были взяты на вооружение. Из его работы не сохранили почти ничего, кроме «голого» результата метрики, с которой связали имя её создателя. Но вопросы интерпретации и прежде всего вопрос «сингулярности Шварцшильда» тем не менее решены не были. Стала выкристаллизовываться точка зрения, что эта сингулярность не имеет значения. К этой точке зрения вели два пути: с одной стороны, теоретический, согласно которому «сингулярность Шварцшильда» непроницаема, и с другой стороны, эмпирический, состоящий в том, что «этого в природе не существует». Эта точка зрения распространилась и стала доминирующей во всей специальной литературе того времени.

Следующий этап связан с интенсивным исследованием вопросов гравитации в начале «золотого века» теории относительности.

Напишите отзыв о статье "Метрика Шварцшильда"

Литература

• K. Schwarzschild // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
  Рус. пер.: Шварцшильд К. О гравитационном поле точечной массы в эйнштейновской теории // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 199-207.
• Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М. Теория поля. - Издание 7-е, исправленное. - М .: Наука , 1988. - 512 с. - («Теоретическая физика », том II). - ISBN 5-02-014420-7 .
• Droste J. Het van een enkel centrum in Einstein s theorie der zwaartekracht en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amsterdam. - 1916. - D.25. - Biz.163-180.
• Эйнштейн А. Памяти Карла Шварцшильда // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. М.: Наука, 1967. Т. 4. С. 33-34.
• S. M. Blinder Centennial of General Relativity (1915-2015); The Schwarzschild Solution and Black Holes (англ.) . - 2015. - arXiv :1512.02061 .

См. также

Ссылки

Типы Размеры Образование Свойства Модели Теории Точные решения в ОТО Связанные темы

Отрывок, характеризующий Метрика Шварцшильда

Москва, 3 октября, 1812.
Наполеон. ]

«Je serais maudit par la posterite si l"on me regardait comme le premier moteur d"un accommodement quelconque. Tel est l"esprit actuel de ma nation», [Я бы был проклят, если бы на меня смотрели как на первого зачинщика какой бы то ни было сделки; такова воля нашего народа. ] – отвечал Кутузов и продолжал употреблять все свои силы на то, чтобы удерживать войска от наступления.
В месяц грабежа французского войска в Москве и спокойной стоянки русского войска под Тарутиным совершилось изменение в отношении силы обоих войск (духа и численности), вследствие которого преимущество силы оказалось на стороне русских. Несмотря на то, что положение французского войска и его численность были неизвестны русским, как скоро изменилось отношение, необходимость наступления тотчас же выразилась в бесчисленном количестве признаков. Признаками этими были: и присылка Лористона, и изобилие провианта в Тарутине, и сведения, приходившие со всех сторон о бездействии и беспорядке французов, и комплектование наших полков рекрутами, и хорошая погода, и продолжительный отдых русских солдат, и обыкновенно возникающее в войсках вследствие отдыха нетерпение исполнять то дело, для которого все собраны, и любопытство о том, что делалось во французской армии, так давно потерянной из виду, и смелость, с которою теперь шныряли русские аванпосты около стоявших в Тарутине французов, и известия о легких победах над французами мужиков и партизанов, и зависть, возбуждаемая этим, и чувство мести, лежавшее в душе каждого человека до тех пор, пока французы были в Москве, и (главное) неясное, но возникшее в душе каждого солдата сознание того, что отношение силы изменилось теперь и преимущество находится на нашей стороне. Существенное отношение сил изменилось, и наступление стало необходимым. И тотчас же, так же верно, как начинают бить и играть в часах куранты, когда стрелка совершила полный круг, в высших сферах, соответственно существенному изменению сил, отразилось усиленное движение, шипение и игра курантов.

Русская армия управлялась Кутузовым с его штабом и государем из Петербурга. В Петербурге, еще до получения известия об оставлении Москвы, был составлен подробный план всей войны и прислан Кутузову для руководства. Несмотря на то, что план этот был составлен в предположении того, что Москва еще в наших руках, план этот был одобрен штабом и принят к исполнению. Кутузов писал только, что дальние диверсии всегда трудно исполнимы. И для разрешения встречавшихся трудностей присылались новые наставления и лица, долженствовавшие следить за его действиями и доносить о них.
Кроме того, теперь в русской армии преобразовался весь штаб. Замещались места убитого Багратиона и обиженного, удалившегося Барклая. Весьма серьезно обдумывали, что будет лучше: А. поместить на место Б., а Б. на место Д., или, напротив, Д. на место А. и т. д., как будто что нибудь, кроме удовольствия А. и Б., могло зависеть от этого.
В штабе армии, по случаю враждебности Кутузова с своим начальником штаба, Бенигсеном, и присутствия доверенных лиц государя и этих перемещений, шла более, чем обыкновенно, сложная игра партий: А. подкапывался под Б., Д. под С. и т. д., во всех возможных перемещениях и сочетаниях. При всех этих подкапываниях предметом интриг большей частью было то военное дело, которым думали руководить все эти люди; но это военное дело шло независимо от них, именно так, как оно должно было идти, то есть никогда не совпадая с тем, что придумывали люди, а вытекая из сущности отношения масс. Все эти придумыванья, скрещиваясь, перепутываясь, представляли в высших сферах только верное отражение того, что должно было совершиться.
«Князь Михаил Иларионович! – писал государь от 2 го октября в письме, полученном после Тарутинского сражения. – С 2 го сентября Москва в руках неприятельских. Последние ваши рапорты от 20 го; и в течение всего сего времени не только что ничего не предпринято для действия противу неприятеля и освобождения первопрестольной столицы, но даже, по последним рапортам вашим, вы еще отступили назад. Серпухов уже занят отрядом неприятельским, и Тула, с знаменитым и столь для армии необходимым своим заводом, в опасности. По рапортам от генерала Винцингероде вижу я, что неприятельский 10000 й корпус подвигается по Петербургской дороге. Другой, в нескольких тысячах, также подается к Дмитрову. Третий подвинулся вперед по Владимирской дороге. Четвертый, довольно значительный, стоит между Рузою и Можайском. Наполеон же сам по 25 е число находился в Москве. По всем сим сведениям, когда неприятель сильными отрядами раздробил свои силы, когда Наполеон еще в Москве сам, с своею гвардией, возможно ли, чтобы силы неприятельские, находящиеся перед вами, были значительны и не позволяли вам действовать наступательно? С вероятностию, напротив того, должно полагать, что он вас преследует отрядами или, по крайней мере, корпусом, гораздо слабее армии, вам вверенной. Казалось, что, пользуясь сими обстоятельствами, могли бы вы с выгодою атаковать неприятеля слабее вас и истребить оного или, по меньшей мере, заставя его отступить, сохранить в наших руках знатную часть губерний, ныне неприятелем занимаемых, и тем самым отвратить опасность от Тулы и прочих внутренних наших городов. На вашей ответственности останется, если неприятель в состоянии будет отрядить значительный корпус на Петербург для угрожания сей столице, в которой не могло остаться много войска, ибо с вверенною вам армиею, действуя с решительностию и деятельностию, вы имеете все средства отвратить сие новое несчастие. Вспомните, что вы еще обязаны ответом оскорбленному отечеству в потере Москвы. Вы имели опыты моей готовности вас награждать. Сия готовность не ослабнет во мне, но я и Россия вправе ожидать с вашей стороны всего усердия, твердости и успехов, которые ум ваш, воинские таланты ваши и храбрость войск, вами предводительствуемых, нам предвещают».
Но в то время как письмо это, доказывающее то, что существенное отношение сил уже отражалось и в Петербурге, было в дороге, Кутузов не мог уже удержать командуемую им армию от наступления, и сражение уже было дано.
2 го октября казак Шаповалов, находясь в разъезде, убил из ружья одного и подстрелил другого зайца. Гоняясь за подстреленным зайцем, Шаповалов забрел далеко в лес и наткнулся на левый фланг армии Мюрата, стоящий без всяких предосторожностей. Казак, смеясь, рассказал товарищам, как он чуть не попался французам. Хорунжий, услыхав этот рассказ, сообщил его командиру.
Казака призвали, расспросили; казачьи командиры хотели воспользоваться этим случаем, чтобы отбить лошадей, но один из начальников, знакомый с высшими чинами армии, сообщил этот факт штабному генералу. В последнее время в штабе армии положение было в высшей степени натянутое. Ермолов, за несколько дней перед этим, придя к Бенигсену, умолял его употребить свое влияние на главнокомандующего, для того чтобы сделано было наступление.
– Ежели бы я не знал вас, я подумал бы, что вы не хотите того, о чем вы просите. Стоит мне посоветовать одно, чтобы светлейший наверное сделал противоположное, – отвечал Бенигсен.
Известие казаков, подтвержденное посланными разъездами, доказало окончательную зрелость события. Натянутая струна соскочила, и зашипели часы, и заиграли куранты. Несмотря на всю свою мнимую власть, на свой ум, опытность, знание людей, Кутузов, приняв во внимание записку Бенигсена, посылавшего лично донесения государю, выражаемое всеми генералами одно и то же желание, предполагаемое им желание государя и сведение казаков, уже не мог удержать неизбежного движения и отдал приказание на то, что он считал бесполезным и вредным, – благословил совершившийся факт.

Записка, поданная Бенигсеном о необходимости наступления, и сведения казаков о незакрытом левом фланге французов были только последние признаки необходимости отдать приказание о наступлении, и наступление было назначено на 5 е октября.
4 го октября утром Кутузов подписал диспозицию. Толь прочел ее Ермолову, предлагая ему заняться дальнейшими распоряжениями.
– Хорошо, хорошо, мне теперь некогда, – сказал Ермолов и вышел из избы. Диспозиция, составленная Толем, была очень хорошая. Так же, как и в аустерлицкой диспозиции, было написано, хотя и не по немецки:
«Die erste Colonne marschiert [Первая колонна идет (нем.) ] туда то и туда то, die zweite Colonne marschiert [вторая колонна идет (нем.) ] туда то и туда то» и т. д. И все эти колонны на бумаге приходили в назначенное время в свое место и уничтожали неприятеля. Все было, как и во всех диспозициях, прекрасно придумано, и, как и по всем диспозициям, ни одна колонна не пришла в свое время и на свое место.
Когда диспозиция была готова в должном количестве экземпляров, был призван офицер и послан к Ермолову, чтобы передать ему бумаги для исполнения. Молодой кавалергардский офицер, ординарец Кутузова, довольный важностью данного ему поручения, отправился на квартиру Ермолова.
– Уехали, – отвечал денщик Ермолова. Кавалергардский офицер пошел к генералу, у которого часто бывал Ермолов.
– Нет, и генерала нет.
Кавалергардский офицер, сев верхом, поехал к другому.
– Нет, уехали.
«Как бы мне не отвечать за промедление! Вот досада!» – думал офицер. Он объездил весь лагерь. Кто говорил, что видели, как Ермолов проехал с другими генералами куда то, кто говорил, что он, верно, опять дома. Офицер, не обедая, искал до шести часов вечера. Нигде Ермолова не было и никто не знал, где он был. Офицер наскоро перекусил у товарища и поехал опять в авангард к Милорадовичу. Милорадовича не было тоже дома, но тут ему сказали, что Милорадович на балу у генерала Кикина, что, должно быть, и Ермолов там.
– Да где же это?
– А вон, в Ечкине, – сказал казачий офицер, указывая на далекий помещичий дом.
– Да как же там, за цепью?
– Выслали два полка наших в цепь, там нынче такой кутеж идет, беда! Две музыки, три хора песенников.
Офицер поехал за цепь к Ечкину. Издалека еще, подъезжая к дому, он услыхал дружные, веселые звуки плясовой солдатской песни.
«Во олузя а ах… во олузях!..» – с присвистом и с торбаном слышалось ему, изредка заглушаемое криком голосов. Офицеру и весело стало на душе от этих звуков, но вместе с тем и страшно за то, что он виноват, так долго не передав важного, порученного ему приказания. Был уже девятый час. Он слез с лошади и вошел на крыльцо и в переднюю большого, сохранившегося в целости помещичьего дома, находившегося между русских и французов. В буфетной и в передней суетились лакеи с винами и яствами. Под окнами стояли песенники. Офицера ввели в дверь, и он увидал вдруг всех вместе важнейших генералов армии, в том числе и большую, заметную фигуру Ермолова. Все генералы были в расстегнутых сюртуках, с красными, оживленными лицами и громко смеялись, стоя полукругом. В середине залы красивый невысокий генерал с красным лицом бойко и ловко выделывал трепака.
– Ха, ха, ха! Ай да Николай Иванович! ха, ха, ха!..
Офицер чувствовал, что, входя в эту минуту с важным приказанием, он делается вдвойне виноват, и он хотел подождать; но один из генералов увидал его и, узнав, зачем он, сказал Ермолову. Ермолов с нахмуренным лицом вышел к офицеру и, выслушав, взял от него бумагу, ничего не сказав ему.
– Ты думаешь, это нечаянно он уехал? – сказал в этот вечер штабный товарищ кавалергардскому офицеру про Ермолова. – Это штуки, это все нарочно. Коновницына подкатить. Посмотри, завтра каша какая будет!

На другой день, рано утром, дряхлый Кутузов встал, помолился богу, оделся и с неприятным сознанием того, что он должен руководить сражением, которого он не одобрял, сел в коляску и выехал из Леташевки, в пяти верстах позади Тарутина, к тому месту, где должны были быть собраны наступающие колонны. Кутузов ехал, засыпая и просыпаясь и прислушиваясь, нет ли справа выстрелов, не начиналось ли дело? Но все еще было тихо. Только начинался рассвет сырого и пасмурного осеннего дня. Подъезжая к Тарутину, Кутузов заметил кавалеристов, ведших на водопой лошадей через дорогу, по которой ехала коляска. Кутузов присмотрелся к ним, остановил коляску и спросил, какого полка? Кавалеристы были из той колонны, которая должна была быть уже далеко впереди в засаде. «Ошибка, может быть», – подумал старый главнокомандующий. Но, проехав еще дальше, Кутузов увидал пехотные полки, ружья в козлах, солдат за кашей и с дровами, в подштанниках. Позвали офицера. Офицер доложил, что никакого приказания о выступлении не было.
– Как не бы… – начал Кутузов, но тотчас же замолчал и приказал позвать к себе старшего офицера. Вылезши из коляски, опустив голову и тяжело дыша, молча ожидая, ходил он взад и вперед. Когда явился потребованный офицер генерального штаба Эйхен, Кутузов побагровел не оттого, что этот офицер был виною ошибки, но оттого, что он был достойный предмет для выражения гнева. И, трясясь, задыхаясь, старый человек, придя в то состояние бешенства, в которое он в состоянии был приходить, когда валялся по земле от гнева, он напустился на Эйхена, угрожая руками, крича и ругаясь площадными словами. Другой подвернувшийся, капитан Брозин, ни в чем не виноватый, потерпел ту же участь.
– Это что за каналья еще? Расстрелять мерзавцев! – хрипло кричал он, махая руками и шатаясь. Он испытывал физическое страдание. Он, главнокомандующий, светлейший, которого все уверяют, что никто никогда не имел в России такой власти, как он, он поставлен в это положение – поднят на смех перед всей армией. «Напрасно так хлопотал молиться об нынешнем дне, напрасно не спал ночь и все обдумывал! – думал он о самом себе. – Когда был мальчишкой офицером, никто бы не смел так надсмеяться надо мной… А теперь!» Он испытывал физическое страдание, как от телесного наказания, и не мог не выражать его гневными и страдальческими криками; но скоро силы его ослабели, и он, оглядываясь, чувствуя, что он много наговорил нехорошего, сел в коляску и молча уехал назад.

ШВАРЦШИЛЬДА ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ -пространство-время вне массивного невращающегося тела в (тензор Риччи R ik = 0). Элемент длины ds определяется выражением

где r , q, f - сферические координаты с центром в центре массивного тела, M - масса тела. Это решение ур-ний Эйнштейна общей теории относительности было найдено К. Шварцшильдом (К. Schwarzschild, 1916). Величина r q = 2GМ/с 2 наз. радиусом Шварцшильда или гравитационным радиусом . Ш. п--в. является асимптотически плоским при r и обладает там правильной ньютоновской асимптотикой: , где -ньютоновский гравитационный потенциал.

На поверхности массивного тела метрика Ш.п--в. (1) должна непрерывно сшиваться с метрикой, описывающей пространство-время внутри тела. При этом радиальная координата поверхности тела в Ш. п--в. должна быть больше r q , иначе равновесие тела невозможно. Ш. п--в. имеет смысл и в отсутствие центрального тела. Тогда его можно аналитически продолжить под гравитационный радиус, в область r, используя др. системы отсчёта [Д. Финкель-штейн (D. Finkelstein), 1958]. Поверхность r = r q является изотропной, так что все массивные или безмассовые частицы могут пересекать её только в одну сторону (из-за этого её также называют горизонтом). Если граничные условия при r = r q таковы, что частицы пересекают гравитационный радиус в сторону уменьшения r , то Ш.п--в. описывает чёрную дыру , образовавшуюся в результате коллапса первоначально регулярного распределения материи (напр., звезды), и тогда поверхность r = r q является горизонтом событий. В противном случае Ш.п--в. содержит белую дыру . В области под гравитационным радиусом частицы могут двигаться либо только в сторону уменьшения r в случае чёрной дыры, либо только в обратную сторону в случае белой дыры. Максимальное аналитическое продолжение Ш.п--в. в отсутствие вещества содержит и чёрную, и белую дыры (внутри каждой из к-рых находится поверхность r = 0) ,

а также две несвязанные пространственные асимптотически-плоские бесконечности r . Однако такое максимальное расширение Ш. п--в. не является физическим в том смысле, что оно не может возникнуть как результат динамической эволюции регулярного распределения материи. Его тензор кривизны конечен и регулярен при r 0. Две несвязанные поверхности r = 0, на к-рых он расходится, есть 3-мерные пространственноподобные гиперповерхности. Поэтому нельзя сказать, что r = 0 есть "центр" Ш. п--в., в отличие от случая центрального тела с радиусом r 0 >r q .

Можно доказать, что Ш.п--в.- единственное статическое вакуумное асимптотически-плоское решение ур-ний общей теории относительности. Ш. п--в., описывающее чёрную дыру, устойчиво: малые возмущения метрики (1) общего вида затухают по степенному закону при t (показатель степени определяется мультипольностью возмущения). Гравитационная энергия связи тел массой т<<М , двигающихся по устойчивым круговым орбитам в Ш.п--в., может достигать 6% от (С. А. Каплан, 1949). Частицы, падающие в чёрную дыру, достигают поверхности горизонта событий за конечное собственное время ~r q /с , но за бесконечный интервал времени t с точки зрения любого внеш. наблюдателя, не падающего в чёрную дыру. Это утверждение остаётся верным и в случае нестационарной чёрной дыры, масса к-рой растёт из-за поглощения (аккреции )ею окружающего вещества [при этом, однако, следует помнить, что в случае аккреции на чёрную дыру радиус поверхности горизонта событий r h ,(t )всегда несколько больше текущего гравитационного радиуса r q (t )]. После пересечения горизонта событий частицы достигают сингулярности r = 0 также за конечный интервал собственного времени. Внеш. наблюдатель этого не увидит никогда.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Теория поля, 7 изд., M., 1988; Хокинг С., Эллис Дж., Крупномасштабная структура пространства-времени, пер. с англ., M., 1977.

А. А. Старобинский .

Гравитация [От хрустальных сфер до кротовых нор] Петров Александр Николаевич

Решение Шварцшильда

Решение Шварцшильда

Для того чтобы обсудить многие эффекты ОТО, необходимо познакомиться с одним из самых важных решений (а возможно, и самым важным) уравнений ОТО – решением немецкого астронома Карла Шварцшильда (1873–1916). Оно получено в 1916 году, всего лишь через несколько месяцев после публикации Эйнштейном своих уравнений гравитационного поля. Это решение соответствует статическому сферически симметричному вакуумному пространству-времени. (О вакуумных решениях уравнений Эйнштейна см. Дополнение 4.) Слова, выделенные курсивом – это условия (ограничения), при которых искалось решение. Эти же условия определяют, чему в реальности должно соответствовать найденное решение – это пространство-время вокруг изолированного сферически симметричного тела. «Изолированного» – это в идеале, а в реальности – вокруг тела, достаточно удаленного от всех остальных тел. Таким образом, в очень хорошем приближении это решение описывает и гравитационное поле вокруг Солнца и каждой из планет Солнечной системы, шаровых звездных скоплений. Поэтому с использованием именно этого решения были проверены первые эффекты ОТО.

Решение Шварцшильда в математическом плане простое, поэтому мы немного с ним повозимся. Собственно, решением уравнений явилась метрика:

Здесь также в силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. C – постоянная интегрирования, без дополнительных предположений или принципов ее определить невозможно. Здесь самое время обратиться к принципу соответствия. При «бесконечном» удалении от центра r ? ? эта метрика обращается в метрику пространства Минковского в сферических координатах, точно так же, как и метрика пространства-времени Ньютона, которую мы уже обсуждали. Значит, на достаточном удалении нам необходимо сравнить новую метрику с метрикой пространства-времени Ньютона, обсуждавшейся в предыдущей главе. При аккуратной процедуре приближения оказывается, что здесь основное возмущение в метрику плоского мира вносится только первым слагаемым в выражении для интервала. Нужно сравнить его с аналогичным членом в метрике Ньютона. Это нам даст C = –2GM /c 2 , после чего метрика Шварцшильда запишется в окончательном виде:

где величина r g = 2GM /c 2 называется гравитационным радиусом . Мы так подробно обсуждаем решение Шварцшильда потому, что это еще и базовое решения для черных дыр, речь о которых впереди. Также потом мы обсудим смысл гравитационного радиуса. А сейчас важно отметить, что появился параметр, определяющий решение , – это масса тела M , обращение в нуль этого параметра превращает решение Шварцшильда в метрику плоского мира.

Из книги Новейшая книга фактов. Том 3 [Физика, химия и техника. История и археология. Разное] автора Кондрашов Анатолий Павлович

Из книги Пять нерешенных проблем науки автора Уиггинс Артур

Решение головоломки: как, кто, где и когда? Как. По сути, мы до сих пор не знаем, как исходные кирпичики Вселенной обрели свою массу, и у нас даже нет уверенности, что мы установили все эти кирпичики. И все же мы располагаем теоретическими и опытными возможностями для

Из книги «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» автора Фейнман Ричард Филлипс

Решение головоломки: как, кто и почему? Как. Рассмотрим с позиции научного метода две основные, допускающие проверку гипотезы о происхождении жизни на Земле.Гипотеза 1Панспермия Хойла - Викрамасингха.Предсказание: если бактерии обитают на ядрах комет, то жизнь или по

Из книги История лазера автора Бертолотти Марио

Решение головоломки: почему, как, кто и где, когда? Почему.Протеомика дает возможность создавать новые, более действенные лекарства и диагностические средства. Однако число пар азотистых оснований, генов и белков, с которыми приходится иметь дело, ставит трудную задачу

Из книги Распространненость жизни и уникальность разума? автора Мосевицкий Марк Исаакович

Решение головоломки: где, когда, как и кто? С точки зрения теории существует несколько возможностей учета темной энергии:? Возвращение космологической постоянной Эйнштейна. Будет забавно, если окажется невозможным обойтись без «самой крупной ошибки» Эйнштейна. Ведь

Из книги Гравитация [От хрустальных сфер до кротовых нор] автора Петров Александр Николаевич

Из книги автора

ГЛАВА 14 РЕШЕНИЕ В ПОИСКЕ ПРОБЛЕМЫ ИЛИ МНОГИЕ ПРОБЛЕМЫ С ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ РЕШЕНИЕМ? ПРИМЕНЕНИЯ ЛАЗЕРОВ В 1898 г. г. Уэллс вообразил в своей книге «Война миров» захват Земли марсианами, которые использовали лучи смерти, способные без труда проходить через кирпичи, сжигать леса, и

Из книги автора

Из книги автора

Снова решение Шварцшильда Пример невидимой звезды Мичелла-Лапласа, хотя и основан на теории, которая не в состоянии дать правильные решения для реальных черных дыр со всем многообразием эффектов и необычных свойств, демонстрирует самое главное их свойство. Черная дыра

Из книги автора

4. Решение уравнений Эйнштейна Но если есть уравнения, значит их нужно решать. То есть при ограничениях и условиях каждой конкретной задачи или модели нужно найти метрические коэффициенты в каждой точке пространства-времени и тем самым определить его геометрические

Объекты называли «сколлапсировавшие звёзды» или «коллапсары » (от англ. collapsed stars ), а также «застывшие звёзды» (англ. frozen stars ).

Вопрос о реальном существовании чёрных дыр в соответствии с данным выше определением во многом связан с тем, насколько верна теория гравитации, из которой существование таких объектов следует. В современной физике стандартной теорией гравитации, лучше всего подтверждённой экспериментально, является общая теория относительности (ОТО), хотя существование чёрных дыр возможно и в рамках других (не всех) теоретических моделей гравитации (см.: Теории гравитации). Поэтому наблюдательные данные анализируются и интерпретируются, прежде всего, в её контексте, хотя, строго говоря, эта теория не является экспериментально подтверждённой для условий, соответствующих области пространства-времени в непосредственной близости от чёрной дыры. Поэтому утверждения о непосредственных доказательствах существования чёрных дыр, в том числе и в этой статье ниже, строго говоря, следовало бы понимать в смысле подтверждения существования объектов, таких плотных и массивных, а также обладающих некоторыми другими наблюдаемыми свойствами, что их можно интерпретировать как чёрные дыры общей теории относительности.

Кроме того, чёрными дырами часто называют объекты, не строго соответствующие данному выше определению, а лишь приближающиеся по своим свойствам к такой чёрной дыре ОТО, например, коллапсирующие звёзды на поздних стадиях коллапса. В современной астрофизике этому различию не придаётся большого значения, так как наблюдательные проявления «почти сколлапсировавшей» («замороженной») звезды и «настоящей» чёрной дыры практически одинаковы.

История представлений о чёрных дырах

В истории представлений о чёрных дырах выделяют три периода:

• Начало первого периода связано с опубликованной в 1784 году работой Джона Мичелла , в которой был изложен расчёт массы для недоступного наблюдению объекта.
• Второй период связан с развитием общей теории относительности , стационарное решение уравнений которой было получено Карлом Шварцшильдом в 1915 году .
• Публикация в 1975 году работы Стивена Хокинга , в которой он предложил идею об излучении чёрных дыр , начинает третий период. Граница между вторым и третьим периодами довольно условна, поскольку не сразу стали ясны все следствия открытия Хокинга, изучение которых продолжается до сих пор.

«Чёрная звезда» Мичелла

«Чёрная дыра» Мичелла

В ньютоновском поле тяготения для частиц, покоящихся на бесконечности, с учётом закона сохранения энергии:

,

.

Пусть гравитационный радиус - расстояние от тяготеющей массы, на котором скорость частицы становится равной скорости света . Тогда .

Концепция массивного тела, гравитационное притяжение которого настолько велико, что скорость, необходимая для преодоления этого притяжения (вторая космическая скорость), равна или превышает скорость света , впервые была высказана в 1784 году Джоном Мичеллом в письме, которое он послал в Королевское общество . Письмо содержало расчёт, из которого следовало, что для тела с радиусом в 500 солнечных радиусов и с плотностью Солнца вторая космическая скорость на его поверхности будет равна скорости света . Таким образом, свет не сможет покинуть это тело, и оно будет невидимым. Мичелл предположил, что в космосе может существовать множество таких недоступных наблюдению объектов. В 1796 году Лаплас включил обсуждение этой идеи в свой труд «Exposition du Systeme du Monde», однако в последующих изданиях этот раздел был опущен.

После Лапласа, до Шварцшильда

На протяжении XIX века идея тел, невидимых вследствие своей массивности, не вызывала большого интереса у учёных. Это было связано с тем, что в рамках классической физики скорость света не имеет фундаментального значения. Однако в конце XIX - начале XX века было установлено, что сформулированные Дж. Максвеллом законы электродинамики , с одной стороны, выполняются во всех инерциальных системах отсчёта , а с другой стороны, не обладают инвариантностью относительно преобразований Галилея . Это означало, что сложившиеся в физике представления о характере перехода от одной инерциальной системы отсчёта к другой нуждаются в значительной корректировке.

В ходе дальнейшей разработки электродинамики Г. Лоренцем была предложена новая система преобразований пространственно-временных координат (известных сегодня как преобразования Лоренца), относительно которых уравнения Максвелла оставались инвариантными. Развивая идеи Лоренца, А. Пуанкаре предположил, что все прочие физические законы также инвариантны относительно этих преобразований.

Искривление пространства

(Псевдо)римановыми называются пространства, которые в малых масштабах ведут себя «почти» как обычные (псевдо)евклидовы. Так, на небольших участках сферы теорема Пифагора и другие факты евклидовой геометрии выполняются с очень большой точностью. В своё время это обстоятельство и позволило построить евклидову геометрию на основе наблюдений над поверхностью Земли (которая в действительности не является плоской, а близка к сферической). Это же обстоятельство обусловило и выбор именно псевдоримановых (а не каких-либо ещё) пространств в качестве основного объекта рассмотрения в ОТО: свойства небольших участков пространства-времени не должны сильно отличаться от известных из СТО.

Однако в больших масштабах римановы пространства могут сильно отличаться от евклидовых. Одной из основных характеристик такого отличия является понятие кривизны . Суть его состоит в следующем: евклидовы пространства обладают свойством абсолютного параллелизма : вектор X " , получаемый в результате параллельного перенесения вектора X вдоль любого замкнутого пути, совпадает с исходным вектором X . Для римановых пространств это уже не всегда так, что может быть легко показано на следующем примере. Предположим, что наблюдатель встал на пересечении экватора с нулевым меридианом лицом на восток и начал двигаться вдоль экватора. Дойдя до точки с долготой 180°, он изменил направление движения и начал двигаться по меридиану к северу, не меняя направления взгляда (то есть теперь он смотрит вправо по ходу). Когда он таким образом перейдёт через северный полюс и вернётся в исходную точку, то окажется, что он стоит лицом к западу (а не к востоку, как изначально). Иначе говоря, вектор, параллельно перенесённый вдоль маршрута следования наблюдателя, «прокрутился» относительно исходного вектора. Характеристикой величины такого «прокручивания» и является кривизна.

Решения уравнений Эйнштейна для чёрных дыр

Стационарные решения для чёрных дыр в рамках ОТО характеризуются тремя параметрами: массой (M ), моментом импульса (L ) и электрическим зарядом (Q ), которые складываются из соответствующих характеристик упавших в неё тел и излучения. Любая чёрная дыра стремится в отсутствие внешних воздействий стать стационарной, что было доказано усилиями многих физиков-теоретиков, из которых особо следует отметить вклад нобелевского лауреата Субраманьяна Чандрасекара , перу которого принадлежит фундаментальная для этого направления монография «Математическая теория чёрных дыр».

Решения уравнений Эйнштейна для чёрных дыр с соответствующими характеристиками:

Решение для вращающейся чёрной дыры чрезвычайно сложно. Интересно, что сложнейший вид решения был «угадан» Керром из «физических соображений». Первый последовательный вывод решения Керра был впервые проделан С. Чандрасекаром более чем на пятнадцать лет позже. Считается, что наибольшее значение для астрофизики имеет решение Керра, так как заряженные чёрные дыры должны быстро терять заряд, притягивая и поглощая противоположно заряженные ионы и пыль из космического пространства. Существует также теория, связывающая гамма-всплески с процессом взрывной нейтрализации заряженных чёрных дыр путём рождения из вакуума электрон-позитроных пар и падения одной из частиц на дыру с уходом второй на бесконечность (Р. Руффини с сотрудниками).

Решение Шварцшильда

Объекты, размер которых наиболее близок к своему радиусу Шварцшильда, но которые ещё не являются чёрными дырами, - это нейтронные звёзды .

Можно ввести понятие «средней плотности» чёрной дыры, поделив её массу на объём, заключённый под горизонтом событий:

Средняя плотность падает с ростом массы чёрной дыры. Так, если чёрная дыра с массой порядка солнечной обладает плотностью, превышающей ядерную плотность, то сверхмассивная чёрная дыра с массой в 10 9 солнечных масс (существование таких чёрных дыр подозревается в квазарах) обладает средней плотностью порядка 20 кг/м³, что существенно меньше плотности воды!

Таким образом, чёрную дыру можно получить не только сжатием имеющегося объёма вещества, но и экстенсивным путём, накоплением огромного количества материала.

Для точного описания реальных чёрных дыр необходим учёт квантовых поправок, а также наличия момента импульса. Около горизонта событий сильны квантовые эффекты, связанные с материальными полями (электромагнитное, нейтринное и т. д.). Учитывающую это, теорию (то есть ОТО, в которой правая часть уравнений Эйнштейна есть среднее по квантовому состоянию от тензора энергии-импульса) обычно называют «полуклассической гравитацией».

Решение Райсснера - Нордстрёма

Это статичное решение уравнений Эйнштейна для сферически-симметричной чёрной дыры с зарядом, но без вращения.

Метрика чёрной дыры Райсснера - Нордстрёма:

c − скорость света , м/с, t − временная координата (время, измеряемое на бесконечно удалённых часах), в секундах, r − радиальная координата (длина «экватора», делённая на 2π ), в метрах, θ − географическая широта (угол от севера), в радианах, − долгота , в радианах, r s − радиус Шварцшильда (в метрах) тела с массой M , r Q − масштаб длины (в метрах), соответствующий электрическому заряду Q (аналог радиуса Шварцшильда, только не для массы, а для заряда) определяемый как где - это постоянная Кулона .

Параметры чёрной дыры не могут быть произвольными. Максимальный заряд, который может иметь ЧД Райсснера - Нордстрёма равен , где e - заряд электрона. Это частный случай ограничения Керра - Ньюмена для ЧД с нулевым угловым моментом (J = 0 , то есть без вращения).

Однако следует заметить, что в реалистичных ситуациях (см.: Принцип космической цензуры) чёрные дыры не должны быть сколь-либо значительно заряжены.

Решение Керра

Керровская чёрная дыра обладает рядом замечательных свойств. Вокруг горизонта событий существует область, называемая эргосферой , внутри которой невозможно покоиться относительно удалённых наблюдателей, а только вращаться вокруг чёрной дыры в направлении её вращения. Этот эффект называется «увлечением инерциальной системы отсчёта » (англ. frame-dragging ) и наблюдается вокруг любого вращающегося массивного тела, например, вокруг Земли или Солнца, но в гораздо меньшей степени. Однако саму эргосферу ещё можно покинуть, эта область не является захватывающей. Размеры эргосферы зависят от углового момента вращения.

Параметры чёрной дыры не могут быть произвольными (см.: Принцип космической цензуры). При J m a x = M 2 метрика называется предельным решением Керра. Это частный случай ограничения Керра - Ньюмена, для ЧД с нулевым зарядом (Q = 0 ).

Это и другие решения типа «чёрная дыра» порождают удивительную геометрию пространства-времени. Однако требуется анализ устойчивости соответствующей конфигурации, которая может быть нарушена за счёт взаимодействия с квантовыми полями и других эффектов.

Для пространства-времени Керра этот анализ был проведён Субраманьяном Чандрасекаром и было обнаружено, что керровская чёрная дыра - её внешняя область - является устойчивой. Аналогично, как частные случаи, оказались устойчивыми шварцшильдовские и рейсснер-нордстрёмовские дыры. Однако анализ пространства времени Керра - Ньюмена всё ещё не проведён из-за больших математических трудностей.

Решение Керра - Ньюмена

Трёхпараметрическое семейство Керра - Ньюмена - наиболее общее решение, соответствующее конечному состоянию равновесия чёрной дыры. В координатах Бойера - Линдквиста (Boyer - Lindquist) метрика Керра - Ньюмена даётся выражением:

Из этой простой формулы легко вытекает, что горизонт событий находится на радиусе: .

И следовательно параметры чёрной дыры не могут быть произвольными. Электрический заряд и угловой момент не могут быть больше значений, соответствующих исчезновению горизонта событий. Должны выполняться следующие ограничения:

- это ограничение Керра - Ньюмена .

Если эти ограничения нарушатся, горизонт событий исчезнет, и решение вместо чёрной дыры будет описывать так называемую «голую» сингулярность , но такие объекты, согласно распространённым убеждениям, в реальной вселенной существовать не должны. (см.: Принцип космической цензуры , но он пока не доказан).

Метрику Керра - Ньюмена можно аналитически продолжить так, чтобы соединить в чёрной дыре бесконечно много «независимых» пространств. Это могут быть как «другие» Вселенные, так и удалённые части нашей Вселенной. В так полученных пространствах есть замкнутые времениподобные кривые: путешественник может, в принципе, попасть в своё прошлое, то есть встретиться с самим собой. Вокруг горизонта событий вращающейся ЧД также существует область, называемая эргосферой , практически эквивалентная эргосфере из решения Керра; находящийся там стационарный наблюдатель обязан вращаться с положительной угловой скоростью (в сторону вращения ЧД).

Термодинамика и испарение чёрных дыр

Представления о чёрной дыре как об абсолютно поглощающем объекте были скорректированы С. Хокингом в 1975 году . Изучая поведение квантовых полей вблизи чёрной дыры, он предсказал, что чёрная дыра обязательно излучает частицы во внешнее пространство и тем самым теряет массу. Этот эффект называется излучением (испарением) Хокинга . Упрощённо говоря, гравитационное поле поляризует вакуум, в результате чего возможно образование не только виртуальных, но и реальных пар частица -античастица . Одна из частиц, оказавшаяся чуть ниже горизонта событий, падает внутрь чёрной дыры, а другая, оказавшаяся чуть выше горизонта, улетает, унося энергию (то есть часть массы) чёрной дыры. Мощность излучения чёрной дыры равна

Состав излучения зависит от размера чёрной дыры: для больших чёрных дыр это в основном фотоны и нейтрино , а в спектре лёгких чёрных дыр начинают присутствовать и тяжёлые частицы. Спектр хокинговского излучения оказался строго совпадающим с излучением абсолютно чёрного тела , что позволило приписать чёрной дыре температуру

,

где - редуцированная постоянная Планка , c - скорость света, k - постоянная Больцмана , G - гравитационная постоянная , M - масса чёрной дыры.

На этой основе была построена термодинамика чёрных дыр, в том числе введено ключевое понятие энтропии чёрной дыры, которая оказалась пропорциональна площади её горизонта событий:

где A - площадь горизонта событий.

Скорость испарения чёрной дыры тем больше, чем меньше её размеры. Испарением чёрных дыр звёздных (и тем более галактических) масштабов можно пренебречь, однако для первичных и в особенности для квантовых чёрных дыр процессы испарения становятся центральными.

За счёт испарения все чёрные дыры теряют массу и время их жизни оказывается конечным:

При этом интенсивность испарения нарастает лавинообразно, и заключительный этап эволюции носит характер взрыва, например, чёрная дыра массой 1000 тонн испарится за время порядка 84 секунды, выделив энергию, равную взрыву примерно десяти миллионов атомных бомб средней мощности.

В то же время, большие чёрные дыры, температура которых ниже температуры реликтового излучения Вселенной (2,7 К), на современном этапе развития Вселенной могут только расти, так как испускаемое ими излучение имеет меньшую энергию, чем поглощаемое. Данный процесс продлится до тех пор, пока фотонный газ реликтового излучения не остынет в результате расширения Вселенной.

Без квантовой теории гравитации невозможно описать заключительный этап испарения, когда чёрные дыры становятся микроскопическими (квантовыми). Согласно некоторым теориям, после испарения должен оставаться «огарок» - минимальная планковская чёрная дыра.

Теоремы об «отсутствии волос»

Теоремы об «отсутствии волос» у чёрной дыры (англ. No hair theorem ) говорят о том, что у стационарной чёрной дыры внешних характеристик, помимо массы, момента импульса и определённых зарядов (специфических для различных материальных полей), быть не может, и детальная информация о материи будет потеряна (и частично излучена вовне) при коллапсе . Большой вклад в доказательство подобных теорем для различных систем физических полей внесли Брэндон Картер , Вернер Израэль, Роджер Пенроуз , Пётр Крушель (Chruściel), Маркус Хойслер. Сейчас представляется, что данная теорема верна для известных в настоящее время полей, хотя в некоторых экзотических случаях, аналогов которых в природе не обнаружено, она нарушается.

Падение в чёрную дыру

Представим себе, как должно выглядеть падение в шварцшильдовскую чёрную дыру. Тело, свободно падающее под действием сил тяжести, находится в состоянии невесомости. Падающее тело будет испытывать действие приливных сил, растягивающих тело в радиальном направлении и сжимающих - в тангенциальном. Величина этих сил растёт и стремится к бесконечности при . В некоторый момент собственного времени тело пересечёт горизонт событий. С точки зрения наблюдателя, падающего вместе с телом, этот момент ничем не выделен, однако возврата теперь нет. Тело оказывается в горловине (её радиус в точке, где находится тело и есть ), сжимающейся столь быстро, что улететь из неё до момента окончательного схлопывания (это и есть сингулярность) уже нельзя, даже двигаясь со скоростью света.

Рассмотрим теперь процесс падения тела в чёрную дыру с точки зрения удалённого наблюдателя. Пусть, например, тело будет светящимся и, кроме того, будет посылать сигналы назад с определённой частотой. Вначале удалённый наблюдатель будет видеть, что тело, находясь в процессе свободного падения, постепенно разгоняется под действием сил тяжести по направлению к центру. Цвет тела не изменяется, частота детектируемых сигналов практически постоянна. Однако, когда тело начнёт приближаться к горизонту событий, фотоны , идущие от тела, будут испытывать всё большее и большее гравитационное красное смещение. Кроме того, из-за гравитационного поля как свет, так и все физические процессы с точки зрения удалённого наблюдателя будут идти всё медленнее и медленнее. Будет казаться, что тело - в чрезвычайно сплющенном виде - будет замедляться , приближаясь к горизонту событий и, в конце концов, практически остановится. Частота сигнала будет резко падать. Длина волны испускаемого телом света будет стремительно расти, так что свет быстро превратится в радиоволны и далее в низкочастотные электромагнитные колебания, зафиксировать которые уже будет невозможно. Пересечения телом горизонта событий наблюдатель не увидит никогда и в этом смысле падение в чёрную дыру будет длиться бесконечно долго. Есть, однако, момент, начиная с которого повлиять на падающее тело удалённый наблюдатель уже не сможет. Луч света, посланный вслед этому телу, его либо вообще никогда не догонит, либо догонит уже за горизонтом.

Аналогично будет выглядеть для удалённого наблюдателя и процесс гравитационного коллапса . Вначале вещество ринется к центру, но вблизи горизонта событий оно станет резко замедляться, его излучение уйдёт в радиодиапазон, и, в результате, удалённый наблюдатель увидит, что звезда погасла.

Модель на базе теории струн

Группа Самира Матура рассчитала размеры нескольких моделей чёрных дыр по своей методике. Полученные результаты совпадали с размерами «горизонта событий» в традиционной теории.

В связи с этим Матур предположил, что горизонт событий на самом деле представляет собой пенящуюся массу струн, а не жёстко очерченную границу.

Следовательно, согласно этой модели, чёрная дыра на самом деле не уничтожает информацию потому что никакой сингулярности в чёрных дырах нет. Масса струн распределяется по всему объёму до горизонта событий , и информация может храниться в струнах и передаваться исходящим излучением Хокинга (а следовательно выходить за горизонт событий).

Ещё один вариант предложил Гэри Горовиц из Университета Калифорнии в Санта-Барбаре и Хуан Малдасена из принстоновского Института передовых исследований. По мнению этих исследователей, сингулярность в центре чёрной дыры существует, однако информация в неё просто не попадает: материя уходит в сингулярность, а информация - путём квантовой телепортации - отпечатывается на излучении Хокинга.

Чёрные дыры во Вселенной

Со времени теоретического предсказания чёрных дыр оставался открытым вопрос об их существовании, так как наличие решения типа «чёрная дыра» ещё не гарантирует, что существуют механизмы образования подобных объектов во Вселенной . Известны, однако, механизмы, которые могут приводить к тому, что некоторая область пространства-времени будет иметь те же свойства (ту же геометрию), что и соответствующая область у чёрной дыры. Так, например, в результате коллапса звезды может сформироваться пространство-время, показанное на рисунке.

Коллапс звезды. Метрика за пределами затенённой области нам неизвестна (или неинтересна)

Изображённая тёмным цветом область заполнена веществом звезды и метрика её определяется свойствами этого вещества. А вот светло-серая область совпадает с соответствующей областью пространства Шварцшильда, см. рис. выше. Именно о таких ситуациях в астрофизике говорят, как об образовании чёрных дыр, что с формальной точки зрения является некоторой вольностью речи. Снаружи, тем не менее, уже очень скоро этот объект станет практически неотличим от чёрной дыры по всем своим свойствам, поэтому данный термин применим к получающейся конфигурации с очень большой степенью точности.

По современным представлениям, есть четыре сценария образования чёрной дыры:

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/98/b81b094b46e9f548a51e83931dca770b.png" border="0">

Чёрные дыры звёздных масс

Чёрные дыры звёздных масс образуются как конечный этап жизни звезды, после полного выгорания термоядерного топлива и прекращения реакции звезда теоретически должна начать остывать, что приведёт к уменьшению внутреннего давления и сжатию звезды под действием гравитации. Сжатие может остановиться на определённом этапе, а может перейти в стремительный гравитационный коллапс . В зависимости от массы звезды и вращательного момента возможны следующие конечные состояния:

• Погасшая очень плотная звезда, состоящая в основном, в зависимости от массы, из гелия , углерода , кислорода , неона , магния , кремния или железа (основные элементы перечислены в порядке возрастания массы остатка звезды).
• Белый карлик , масса которого ограничивается сверху пределом Чандрасекара .
• Нейтронная звезда , масса которой ограничена пределом Оппенгеймера - Волкова .
• Чёрная дыра.

По мере увеличения массы остатка звезды происходит движение равновесной конфигурации вниз по изложенной последовательности. Вращательный момент увеличивает предельные массы на каждой ступени, но не качественно, а количественно (максимум в 2-3 раза).

Условия (главным образом, масса), при которых конечным состоянием эволюции звезды является чёрная дыра, изучены недостаточно хорошо, так как для этого необходимо знать поведение и состояния вещества при чрезвычайно высоких плотностях, недоступных экспериментальному изучению. Дополнительные сложности представляет моделирование звёзд на поздних этапах их эволюции из-за сложности возникающего химического состава и резкого уменьшения характерного времени протекания процессов. Достаточно упомянуть, что одни из крупнейших космических катастроф, вспышки сверхновых , возникают именно на этих этапах эволюции звёзд . Различные модели дают нижнюю оценку массы чёрной дыры, получающейся в результате гравитационного коллапса, от 2,5 до 5,6 масс Солнца. Радиус чёрной дыры при этом очень мал - несколько десятков километров.

Впоследствии чёрная дыра может разрастись за счёт поглощения вещества - как правило, это газ соседней звезды в двойных звёздных системах (столкновение чёрной дыры с любым другим астрономическим объектом очень маловероятно из-за её малого диаметра). Процесс падения газа на любой компактный астрофизический объект, в том числе и на чёрную дыру, называется